C = B · log₂(1 + SNR)
B en hercios y la SNR como relación lineal de potencias: SNR = 10^(SNR_dB / 10).
El límite que ningún módem puede superar
En 1948 Claude Shannon demostró que todo canal con ruido tiene una capacidad máxima: por debajo de ella es posible transmitir con una probabilidad de error tan pequeña como se quiera, usando la codificación adecuada; por encima, no. El teorema de Shannon-Hartley da esa capacidad para un canal con ruido blanco gaussiano. Los sistemas modernos de Wi-Fi, telefonía móvil o fibra se diseñan comparándose con este límite.
Fórmulas completas
- Capacidad: C = B · log₂(1 + SNR), en bit/s
- SNR lineal a partir de dB: SNR = 10SNR(dB)/10
- Eficiencia espectral máxima: C / B = log₂(1 + SNR), en bit/s/Hz
- Aproximación para SNR alta: C / B ≈ SNR(dB) / 3.01, es decir, cada 3 dB más añaden ≈ 1 bit/s/Hz
Tabla de valores típicos
| Ancho de banda | SNR | bit/s/Hz | Capacidad |
|---|---|---|---|
| 3.1 kHz | 30 dB | ≈ 9.97 | ≈ 30.9 kbit/s |
| 1 MHz | 10 dB | ≈ 3.46 | ≈ 3.46 Mbit/s |
| 20 MHz | 0 dB | 1 | 20 Mbit/s |
| 20 MHz | 25 dB | ≈ 8.31 | ≈ 166 Mbit/s |
| 100 MHz | 20 dB | ≈ 6.66 | ≈ 666 Mbit/s |
El primer caso corresponde a una línea telefónica analógica clásica: explica por qué los módems de voz se quedaron en algunas decenas de kbit/s.
Ejemplo resuelto
Un canal de 20 MHz recibe la señal con SNR = 25 dB. La SNR lineal es 102.5 ≈ 316.2, así que C = 20 × 10⁶ × log₂(317.2) ≈ 20 × 10⁶ × 8.31 ≈ 166 Mbit/s. Si la SNR bajara a 19 dB (6 dB menos), la capacidad caería unos 2 bit/s/Hz, a ≈ 126 Mbit/s. Duplicar el ancho de banda con la misma SNR, en cambio, duplicaría la capacidad, aunque en la práctica más ancho de banda también capta más ruido.
Errores comunes
- Usar la SNR en dB dentro del logaritmo: primero hay que convertirla a relación lineal.
- Confundir capacidad con velocidad real: los sistemas reales quedan por debajo por la codificación, los encabezados de protocolo y los márgenes.
- Olvidar que el ruido depende del ancho de banda: el ruido térmico crece con B, así que ampliar la banda no aumenta la capacidad indefinidamente.
- Aplicarlo a canales con interferencia no gaussiana sin matices: el teorema supone ruido blanco gaussiano.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay con el teorema de Nyquist?
Nyquist da la tasa máxima de símbolos en un canal sin ruido (2B símbolos/s); Shannon da cuántos bits por segundo se pueden transmitir sin errores cuando hay ruido.
¿Se puede superar el límite de Shannon?
No para transmitir sin errores. Los mejores códigos actuales se acercan a él a menos de un decibelio.
¿Cómo obtengo la SNR de mi enlace?
Restando el nivel de ruido del receptor a la potencia recibida, que puedes estimar con el presupuesto de enlace.
Herramienta educativa. Verifica hojas de datos, normas y condiciones reales antes de usar los resultados en diseños críticos. Área: Telecomunicaciones.